Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD=CD，AE⊥BD于点F，交BC于点E，求CE：BE

Answer 1

这次想换一下思路，用面积来解这道题。

如图，做∠BAC的平分线AH交BD于H，G是AB的中点，连接GH、DE。

先证△ABH≌△CAE（因为AB=AC，∠BAH=∠C=45°，∠1和∠1‘都与∠2互余），得AH=CE；

再证△AHG≌△AHD≌△CED（因为AG=AD=DC，AH=AH=CE，∠GAH=∠DAH=∠C=45°），

则，面积S1=S2=S3；

易证，S3=S4（等底等高），S1+S5=S2+S3+S4（△ABD和△CBD等底等高），则S5=2*S1

两个三角形等高，则面积与底边长成比例，所以CE:BE=1:2

Answer 2

过C作CM⊥AC交AE的延长线于M
∵∠CAM+∠BAF=∠BAF+∠ABD=90°
∴∠CAM=∠ABD
又∵BA=AC，∠BAD=∠ACM=90°
∴△BAD≌△ACM
∴AD=CM
∵AD=1/2AC=1/2AB
∴CM=1/2AB
∵AB⊥AC，CM⊥AC
∴CM∥AB
∴CE/BE=CM/AB=1/2