Question

任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,他的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的1/3?

Answer 1

设给定的矩形的长为a，宽为b，并存在另一个矩形的长为a1，宽为b1他的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的1/3
即a1+b1=1/3*（a+b），a1b1=1/3*ab
所以任意给定正数a,b方程x^2-1/3*（a+b）x+1/3*ab =0有两个正根即可.
而[-1/3*（a+b）]^2-4*1/3*ab =1/9*[a^2+b^2-10ab],所以当a=1.b=2时差别式的值为-5/3,方程x^2-1/3*（a+b）x+1/3*ab =0无实根
所以任意给定一个矩形,不一存在另一个矩形,他的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的1/3

Answer 2

假定矩形长和宽a,b
则待定矩形长宽x,y
xy = ab/3
x+y = (a+b)/3
根据韦达定理，这就是要问方程 z^2 -(a+b)z/3 +ab/3=0是不是有两个正实数解么
这很容易判断的，只要你学过二次方程

追问

谢啦~但是并不知道△值为正还是负还是0啊。。。

追答

delta = (a+b)^2/9 - 4ab/3 = a^2/9 +b^2/9 -10ab/9 ＝(a^2 -10ab +b^2)/9
既然它不是恒正，说明有的矩形有，有的矩形没有，答案是不确定，看具体a，b

追问

那如果分三种情况怎么算。。老师在布置作业后说，分三种情况考虑。，

追答

所谓三种情况，我估计实际应该是两种情况，也就是delta >=0，则存在，否则不存在。这很明显啊