Question

已知函数f（x）=x^2*（x-t）的图像与x轴交于A、B两点，其中t>0

设函数y=f（x）在点p （x0，y0）处的切线的斜率为k，当x∈（0,1]时，k≥-1/2恒成立，求t的最大值。
急求，谢谢。
为了不引起歧义：f（x）=(x^2)*(x-t)。
真的很着急啊，求帮助！3Q！

Answer 1

求导：f(x)导数=3x^2-2tx
当x∈（0,1]时，k≥-1/2恒成立
也就是 当x∈（0,1]时，3x^2-2tx≥-1/2，即 6x^2-4tx+1≥0
令g(x)=6x^2-4tx+1,这是一个开口向上的抛物线，且对称轴为t/3 (t>0,对称轴一定在x轴右边)
1.若对称轴t/3<=1 即t<=3 时,抛物线的顶点就是最低点，也就是最小值
那么根据抛物线顶点坐标，得g(x)最小值=2-(3/2) * t^2
所以 2-(3/2) * t^2≥0
解得 -2√3 /3 <= t≤ 2√3 /3
而题目给定 t>0
所以，0< t≤ 2√3 /3 ,(此时t<=3,满足)
2.若对称轴t/3>1 即t>3时，g(x)最小值为g(1)
那么g(1)=6-4t+1≥0
解得 t<=7/4 (此时不满足t>3)

综合1，2 得：0< t≤ 2√3 /3
所以 t 最大值为： 2√3 /3

追问

那个……标准答案为7/4。不过还是感谢你了……

Answer 2

f(x)导数=3x^2-2tx 当x∈（0,1]时，k≥-1/2恒成立 3x^2-2tx≥-1/2 2t ≤3x+1/2x恒成立 3x+1/2x ≥ √6
所以t ≤√6/2所以 t 最大值为√6/2对么？？？

追问

好吧，其实回答上条答案时和同学对答案，很多人说是7/4，其实是√6/2……你是对的，恭喜……