Question

已知fx=2+ 2^x (2≤x≤6)则函数y=[fx]^2+f(2x)的值域为

答案是多少？我比较纠结的是f（2x）中的x的范围是1到3对吧？那为什么我们老师算的时候整理带进去的x还是2到6呢？

Answer 1

f(x)的定义域为[2,6]，当然，f(2x)中的x的范围是[1,3]
解：f(x)=2+2^x在[2,6]上是增函数，
从而 f(x)的值域为[6，66]，
由于 f(2x)中，2≤2x≤6，所以 6≤f(2x)≤66
在y=[f(x)]^2 +f(2x)中，有1≤x≤3，所以 4≤f(x)≤10，16≤[f(x)]^2≤100
从而 22≤[f(x)]^2 +f(2x)≤166
即值域为[22,166]

Answer 2

函数的取值只和对应法则有关（通俗的说就是函数表达式的形式），而和自变量的形式没有关系。所以把2x换成X，则只要对应的定义域换成2到6即可。
这种变量代换一般是为了换出原来的f(x)的表达式。直接换就OK啦。理由如上。

Answer 3

解答：
先求y=[f(x)]²+f(2x)的定义域
则2≤x≤6，且2≤2x≤6
∴ 2≤x≤3 【不是1到3】
y=(2+2^x)²+(2+4^x)
令2^x=t, 则4≤t≤8
y=(2+t)²+2+t²
=2t²+4t+6
=2(t+1)²+4
∴ t=4时，y的最小值为54
t=8时，y的最大值为166
∴ 值域为[54,166]

Answer 4

你的看法是对的，y的定义域应该是[1,3]，因此这个问题是：
y=(2+2^x)^2+2+2^(2x)(1<=x<=3)
最后答案为：[22,166]
祝学习进步