Question

高等数学 一元微积分 如图

Answer 1

A的反例：f(x)=1，显然∫[-∞→+∞] 1 dx发散；
B的反例：f(x)分段
f(x)=1/x，x<-1
1， -1≤x≤1
1/x， x>1
满足当x→∞时，1/x→0，但是∫[-∞→+∞] f(x) dx发散，因为∫[1→+∞] 1/x dx发散；
C的反例：f(x)=2x
∫[-a→a] 2x dx

=x² |[-a→a]
=a²-(-a)²=0
因此lim [a→+∞] ∫[-a→a] 2x dx=0
但是∫[-∞→+∞] 2x dx发散，因为∫[0→+∞] 2x dx发散。

Answer 2

额，这是参考书还是教科书？是同济版的说一下页数？

Answer 3

原因在D中已经说的很清楚了，因为负无穷到正无穷的积分收敛的定义就是负无穷到0，和0到正无穷的两个无穷积分必须都收敛！这样很容易举出反例说明前三个不对。
（A） 令f(x)=1, 则其在0到正无穷的积分不收敛，所以整个积分不收敛
（B） 当x<=0是 f(x)=1, x>0时， f(x)=(0.5)^x, 则 f(x)满足条件，但是在负无穷到0上积分不收敛
（C） 令f(x)=1, 则与（A）同样的道理，积分不收敛。