Question

已知fx=x^2(x-t)的图像与x轴交于A,B俩点,t>0，

，设函数y=f（x）在点p（x0，y0）处的切线的斜率为k，当x0属于(0,1]时，k大于等于 -1/2,恒成立，求t的最大值

Answer 1

解：f'(x)=3x^2-2tx 则k=f'(x0)=3x0^2-2tx0
当x0属于(0,1]时，k大于等于 -1/2,恒成立
即3x0^2-2tx0 >=-1/2恒成立
也即t<=3x0/2+1/4x0 （变量分离）
故只需满足t小于或等于3x0/2+1/4x0的最小值即可
而3x0/2+1/4x0>=√6/2 当且仅当3x0/2=1/4x0即x0=√6/6时，等号成立（均值不等式）
故t<=√6/2又t>0
则0<t<=√6/2
（总结：对于恒成立问题，一般有两种做法：直接法，针对基本函数尤其是一次函数和二次函数。变量分离法，将所要求的参数和变量左右分离，从而转化为求最值问题。）当然对于这道题显然可以采用直接法解的，但涉及到分类讨论，角繁琐一点，故我采用了变量分离。由此你应该体会到到底什么时候采用哪种方法，这要结合题目来决定，灵活变化才行！