Question

高中数学三角恒等式包括哪些公式

Answer 1

常见的三角恒等式
设A，B，C是三角形的三个内角
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
二倍角公式
　sin2A=2sinA•cosA
　cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2A-1
　tan2A=（2tanA）/（1-tan^2A）
三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推导　
　　sin3a
　　=sin(2a+a)
　　=sin2acosa+cos2asina
　　=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
　　=3sina-4sin^3a
　　cos3a
　　=cos(2a+a)
　　=cos2acosa-sin2asina
　　=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
　　=4cos^3a-3cosa
　　sin3a=3sina-4sin^3a
　　=4sina(3/4-sin^2a)
　　=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]
　　=4sina(sin^260°-sin^2a)
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
　　cos3a=4cos^3a-3cosa
　　=4cosa(cos^2a-3/4)
　　=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
　　=4cosa(cos^2a-cos^230°)
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
　　上述两式相比可得
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
半角公式
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
　　sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
　　cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
　　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)）

和差化积
　　sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
　　cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
　　cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
积化和差
　　sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2
　　cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
　　sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2
　　cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
双曲函数
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2
　　tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)
　　公式一：
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
　　sin（2kπ＋α）= sinα
　　cos（2kπ＋α）= cosα
　　tan（2kπ＋α）= tanα
　　cot（2kπ＋α）= cotα
　　公式二：
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π＋α）= -sinα
　　cos（π＋α）= -cosα
　　tan（π＋α）= tanα
　　cot（π＋α）= cotα
　　公式三：
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
　　sin（-α）= -sinα
　　cos（-α）= cosα
　　tan（-α）= -tanα
　　cot（-α）= -cotα
　　公式四：
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π-α）= sinα
　　cos（π-α）= -cosα
　　tan（π-α）= -tanα
　　cot（π-α）= -cotα
　　公式五：
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（2π-α）= -sinα
　　cos（2π-α）= cosα
　　tan（2π-α）= -tanα
　　cot（2π-α）= -cotα
　　公式六：
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π/2+α）= cosα
　　cos（π/2+α）= -sinα
　　tan（π/2+α）= -cotα
　　cot（π/2+α）= -tanα
　　sin（π/2-α）= cosα
　　cos（π/2-α）= sinα
　　tan（π/2-α）= cotα
　　cot（π/2-α）= tanα
　　sin（3π/2+α）= -cosα
　　cos（3π/2+α）= sinα
　　tan（3π/2+α）= -cotα
　　cot（3π/2+α）= -tanα
　　sin（3π/2-α）= -cosα
　　cos（3π/2-α）= -sinα
　　tan（3π/2-α）= cotα
　　cot（3π/2-α）= tanα
　　(以上k∈Z)
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }
　　√表示根号,包括{……}中的内容
诱导公式
　　sin(-α) = -sinα
　　cos(-α) = cosα
　　tan (-α)=-tanα
　　sin(π/2-α) = cosα
　　cos(π/2-α) = sinα
　　sin(π/2+α) = cosα
　　cos(π/2+α) = -sinα
　　sin(π-α) = sinα
　　cos(π-α) = -cosα
　　sin(π+α) = -sinα
　　cos(π+α) = -cosα
　　tanA= sinA/cosA
　　tan（π/2＋α）＝－cotα
　　tan（π/2－α）＝cotα
　　tan（π－α）＝－tanα
　　tan（π＋α）＝tanα
　　诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
其它公式
　　(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1
　　(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
　　(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
　　(4)对于任意非直角三角形,总有
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
　　证:
　　A+B=π-C
　　tan(A+B)=tan(π-C)
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
　　整理可得
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
　　得证
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
　　(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
　　(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
　　(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
　　(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
　　其他非重点三角函数　
　　csc(a) = 1/sin(a)
　　sec(a) = 1/cos(a)
　　

Answer 2

常见的三角恒等式及其证明　　

设A，B，C是三角形的三个内角

　　(1)

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　证明：

　　tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-c)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC

　　(2)

　　cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

　　证明：

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　cotX*tanX=1

　　tanA*cotAcotBcotC+tanB*cotAcotBcotC+tanC*cotAcotBcotC=tanAtanBtanC*cotAcotBcotC

　　cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

　　(3)

　　(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1

　　证明：

　　(cosA)^2+(cosB)^2+x^2+2cosAcosBx=1

　　x^2+2cosAcosBx+(cosA)^2+(cosB)^2-1=0

　　x={-2cosAcosB+-√[(2cosAcosB)^2-4((cosA)^2+(cosB)^2-1)]}/2 (韦达定理）

　　x=-cosAcosB+-√[(cosAcosB)^2-((cosA)^2+(cosB)^2-1)]

　　x=-cosAcosB+-√[1-(cosA)^2][1-(cosB)^2]

　　x=-cosAcosB+-√[(sinA)^2(sinB)^2]

　　x=-cosAcosB+-sinAsinB

　　x=-cos(A+B)或-cos（A-B）

　　x=cosC或-cos（A-B)

　　两解都是原方程的根

　　因为

　　cosC是方程的一个根

　　所以

　　(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1

　　(4)

　　cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

　　证明：

　　cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

　　cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2sin(A/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]

　　cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]

　　-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]

　　-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[cos(B/2-C/2)-cos(B/2+C/2)]

　　-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)-2[cos(B/2+C/2)]^2

　　cosB+cosC=2cos(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)

　　2[cos(B/2+C/2)]^2-1=cos(B+C)

　　(5)

　　tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

　　证明：

　　A/2+B/2+C/2=π/2

　　(π/2-A)+(π/2-B)+(π/2-C)=π

　　cot(π/2-A)cot(π/2-B)+cot(π/2-C)cot(π/2-B)+cot(π/2-A)cot(π/2-C)=1

　　tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

　　(6)

　　sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

　　证明1：

　　设三角形ABC不是钝角三角形，且外心为O

　　S△ABO+S△ACO+S△CBO=S△ABC

　　(1/2)RRsinAOB+(1/2)RRsinAOC+(1/2)RRsinBOC (AOB=2C,AOC=2B.BOC=2A)

　　(1/2)RRsin2C+(1/2)RRsin2B+(1/2)RRsin2A=(1/2)bcsinA=(1/2)2RsinB*2RsinC*sinA

　　sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

　　证明2：sin2A+sin2B+sin2C

　　= 2sin(A+B)cos(A-B)+sin2C

　　= 2sinCcos(A-B)+2sinCcosC

　　= 2sinC*[cos(A-B)-cos（A+B)]

　　= 2sinC*[-2sinAsin(-B)]

　　= 4sinC*sinA*sinB

　　(7)

　　sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

　　证明：

　　4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

　　=[2cos(C/2)]*[2cos(A/2)cos(B/2)]

　　=[2sin(A/2+B/2)]*[cos(A/2+B/2)+cos(A/2-B/2)]

　　=2sin(A/2+B/2)cos(A/2+B/2)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)

　　=sin(A+B)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)

　　=sinC+2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

　　=sinC+sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]

　　=sinC+sinA+sinB