Question

三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标的推导过程

即∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,φ，θ)r^2sinφdrdφdθ

Answer 1

同理： V=|x||y||z| ΔV=ΔxΔyΔz
极坐标下：V四棱锥=2V三棱锥=2*1/3SH=2*1/3(r^2)/2*θ* rsinφ=1/3*r^3*θ*sinφ
ΔV四棱锥=2ΔV三棱锥=Δ(1/3*r^3)*Δθ*Δ(sinφ)

Answer 2

解：∵x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ
│αx/αr αx/αφ αx/αθ│ │sinφcosθ rcosφcosθ -rsinφsinθ │
∴α(x,y,z)/α(r,φ,θ)=│αy/αr αy/αφ αy/αθ│=│sinφsinθ rcosφsinθ rsinφcosθ│=r²sinφ
│αz/αr αz/αφ αz/αθ│ │cosφ -rsinθ 0 │
∵dxdydz=│α(x,y,z)/α(r,φ,θ)│drdφdθ=r²sinφdrdφdθ
∴∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,φ，θ)r²sinφdrdφdθ。

Answer 3

这个怎么写,你看高数1里边球面积分就行,有严格的推导过程