Question

问一道概率论中数学期望的问题

问题如下

下图是书上的答案

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Answer 1

E[(X+2Y)(X+2Y)]=E(X+2Y)E(X+2Y)明显不成立
你这样写就形如EX^2=EXEX
举个例子
X -1 1
p 1/2 1/2
EX=0
正常算EX^2=1/2+1/2=1
按你的算就是EX^2=0 所以你的结论明显不成立

追问

是不是这样理解,虽然X\Y独立,但不能保证(x+2Y)与(x+2Y)也独立?

追答

有说X 和X本身独立的说法么？

Answer 2

你的第二步有问题
X，Y独立，可以推出EXY=EX*EY
但是X+2Y和X+2Y不是相互独立，不能用此定理
即没有E[(X+2Y)(X+2Y)]=E(X+2Y)*E(X+2Y)
就如(EX)^2=EX*EX≠EX^2

Answer 3

X+2Y 与X+2Y 之间并不独立

Answer 4

你的问题哪？

追问

看到不我的贴图?

追答

E[(X+2Y)(X+2Y)]=E(X+2Y)E(X+2Y)
是不正确的!

因为就像x与x吧,它们是有线性关系的! 并不独立
其相关系数为1,在概率中表示是Corr(x+2y,x+2y)=1
所以你的答案是错误的,

现在来说正确答案,你不知道求方差的公式么
Var(x)=D(x)=(x平方)的期望-期望E(x)的平方
所以一移项就是E(x+2y)^2=D(x+2y)+[E(X)]^2
如果要知道公式怎么推导的可追问
时间有限,抱歉啊.希望能帮到你!

参考资料： 数学专业学生