Question

跪求数学高手进来解题（不是高手的请不要进来）

1. 设O为ΔABC内的一点,记a=SΔBCO/SΔABC ,b= SΔCAO/SΔABC
C=SΔABO/SΔABC,则 求 aOA＋ bOB ＋ cOC的值(其中OA,OB,OC为向量)
2.cos5。+ cos77。+ cos149。+ cos221。+ cos293。=？？
题目 中的句号为度.

Answer 1

1.aOA＋ bOB ＋ cOC
=(OA*SΔBCO+OB*SΔCAO+OC*SΔABO)/SΔABC

OA=OB+BA,OC=OB+BC

上式化成OB+(BA*SΔBCO+BC*SΔABO)/SΔABC

过O做OD平行于BC,交AB于D,

上式化为OB+BD+DO=0

2.cos5=(cos(5+54)+cos(5-54))/2cos54
cos77=(cos(77+54)+cos(77-54))/2cos54
cos149=(cos(149+54)+cos(149-54))/2cos54
...
cos(x-54)与cos(x+72+54)刚好两两抵消.结果为0

另外可以把这个式子看做一个向量组的和在X轴上的投影,
(cos5,sin5)+(cos77,sin77)+...
这个向量组可以构成一个圆内接正5边形,所以其加和为0.
当然这证明并不严格.

如果你学过复数,那么这个再好证明不过了,上面可以看做一组复数和的实部,这组复数和乘以cos72+sin72 i,结果不变,所以其和为0

Answer 2

第一题，答案为0 （注意向量是有方向的）

第二题,实际题目是这样的形式cosx+cos(x+a)+cos(x+2a)+cos(x+3a)+cos(x+4a)

利用cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)，将首尾项相加，即cosx+cos(x+4a) ,cos(x+a)+cos(x+3a),

剩下的你自己算吧

（顺便鄙视下楼上的hu414931961，说了一些废话，还在这里狂妄，好像去竞赛班的都很强的一样，再次鄙视下）

Answer 3

aOA＋ bOB ＋ cOC
=OA*SΔBCO/SΔABC +OB*SΔCAO/SΔABC+OC*SΔABO/SΔABC
=(OA*SΔBCO+OB*SΔCAO+OC*SΔABO)/SΔABC

其他的晚上再说,我要去竞赛班了

cos5+ cos77+ cos149+ cos221+ cos293
=cos5+cos(5+72)+cos(5+72*2)+cos(5+72*3)++cos(5+72*4)

其他的也不会了 ,以前有些狂~~~~