Question

线性代数证明题，有关矩阵的，主要关于可逆矩阵、正交矩阵（两题）非常感谢！

1、设A.B是两个n阶方阵，且A可逆，B²+AB+A²=0（0是所有元素都为0的矩阵），证明B与A+B都是可逆的，并求出它们的逆矩阵。
答案：B的逆矩阵为-（B+A）A^(-2)；(A+B)的逆矩阵为-A^(-2)B。我知道A^-1表示A的逆矩阵，但是不明白A^-2是如何计算出来的。

2、设A、B是同阶正交矩阵，证明对任意正交方阵P，证明P^(-1)AP是正交矩阵。

Answer 1

1)B(A+B)=-A^2,两边取行列式可知|B(A+B)|=|B||A+B|=-A|^2=|A|^2不等于0,，所以|B|与|(A+B)|均不为0，所以均可逆。B^{-1}=-A^2(A+B)^{-1},(A+B)^{-1}=-B^{-1}*A^2

2)A、P是同阶正交矩阵，所以A=Q^{-1}Q
所以P^{-1}AP=P^{-1}(Q^{-1}Q)P=(PQ)^{-1}(PQ)
所以P^{-1}AP是正交矩阵

追问

谢谢！不过因为老师还没讲，但是作业又要做，自己看过看不太懂。所以对取行列式不是很明白，请问能解释一下吗？太麻烦的话就算啦。
然后是第二题，A、P是同阶正交矩阵，就可以直接得到A=Q^{-1}Q吗？因为我目前只知道对于正交矩阵有A(^T)·A=I。

追答

1)同阶方阵乘积的行列式等于行列式的乘积
2）根据A是正交矩阵，就可以直接得到A=Q^{-1}Q

追问

不好意思，问题有点多哈。那个行列式我们没有涉及，第一题能不能只用可逆矩阵的性质来解呢？
然后第二题中的矩阵Q，是不是一个特定的矩阵——题目中没有Q，但是也可以拿来用；或者正交矩阵A=Q^-1Q就是一个公式呢？

Answer 2

楼上的回答完全不靠谱

1. B^2+AB+A^2=0
<=> (A+B)B=-A^2 (注意这里乘法的次序)
<=> -A^{-2}(A+B)B=I，所以B^{-1}=-A^{-2}(A+B)
同理 (A+B)B=-A^2 <=> (A+B)*[-BA^{-2}]=I，所以(A+B)^{-1}=-BA^{-2}

2. 任何两个同阶正交阵的乘积仍然是正交阵
(XY)'(XY)=Y'X'XY=Y'Y=I
正交阵的逆阵X^{-1}=X'也是正交阵
这里既然P^{-1}、A、P都是正交阵，其乘积当然也是正交阵

追问

　　谢谢哈！你的答案一目了然的说。想问一下A^-2表示的就是A^2的逆矩阵对吧？然后-A^{-2}(A+B)B=I是怎么得到的呢？题目中没说B是逆矩阵吖。
　　第二题是正交矩阵的性质吗？因为我们这本书没有具体的讲正交矩阵，只是一句话带过。

追答

1. A^{-2}既可以理解成A^{-1}的平方，也可以理解成A^2的逆，很容易验证 (A^{-1})^2 = (A^2)^{-1}
在(A+B)B=-A^2两边左乘-A^{-2}就得到-A^{-2}(A+B)B=I，既然[-A^{-2}(A+B)] * B=I，那么B就可逆了（后面我会再讲一下）

2. 都是正交阵的基本性质，别管书上讲不讲，用定义直接推就行了，如果连这些都不会推即使书上讲得再细致你也只不过是在背结论而并不是真正掌握
楼上的A=Q^{-1}Q属无稽之谈，不用追问了，因为只有单位矩阵才能满足这一性质

另外讲一下，对于n阶方阵X和Y，如果XY=I，那么X和Y都可逆并且互为逆矩阵，即XY=YX=I
这需要用行列式的性质，|XY|=|X||Y|，再由|XY|=|I|=1得到|X|和|Y|都非零，因此非奇异
对于非奇异矩阵而言一定存在双侧逆Z=adj(X)/|X|，其中adj(X)是伴随阵，满足XZ=XZ=I
然后用逆矩阵的性质可以推出单侧逆就是双侧逆: Y=(ZX)Y=Z(XY)=Z
这些是基本知识，很显然你根本没掌握，所以才会问出一些很简单的问题，你得先去把这些补掉