Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+c满足f(1)=0，且a>b>c

(1)求c/a的取值范围;
(2)设该函数图像交x轴于A、B两点，求|AB|的取值范围。

越详细越好，最好一步也不要省

Answer 1

解：由题意f(1)=0→a+b+c=0 ...............&
第一步，判定c的取值范围
c≥0,则 a+b+c>c≥0 与&式矛盾，所以 必有c<0 此时 a>0(否则a+b+c<0)
<1> 0=a+b+c>a+2c 所以 -2c>a -2<a/c (c<0)
0=a+b+c<2a+c 所以 -c<2a -1/2>a/c
综上 a/c ∈ (-1/2,-2)
<2> 不妨设A点就是(1,0),B:(x1,0) 由于a>0,c<0 必有x1<0
|AB| = 1-x1
由于A,B是f(X)零点，所以
a+b+c = 0 (b=-a-c)
ax1^2+bx1+c= 0 两式相减 a(1-x1^2)+b(1-x1)=(1-x1)[a(1+x1)+b]=0
x1<0,1-x1>0 所以必有 a(1+x1)=-b -x1=1+b/a=1-(a+c)/a=-c/a
所以 |AB|=1-x1 = 1-c/a
c/a ∈(-1/2,-2) |AB|=1-x1 = 1-c/a ∈(3/2,3)
解答完毕

Answer 2

判定c的取值范围
c≥0,则 a+b+c>c≥0 与&式矛盾，所以 必有c<0 此时 a>0(否则a+b+c<0)
<1> 0=a+b+c>a+2c 所以 -2c>a -2<a/c (c<0)
0=a+b+c<2a+c 所以 -c<2a -1/2>a/c
综上 a/c ∈ (-1/2,-2)
<2> 不妨设A点就是(1,0),B:(x1,0) 由于a>0,c<0 必有x1<0
|AB| = 1-x1
由于A,B是f(X)零点，所以
a+b+c = 0 (b=-a-c)
ax1^2+bx1+c= 0 两式相减 a(1-x1^2)+b(1-x1)=(1-x1)[a(1+x1)+b]=0
x1<0,1-x1>0 所以必有 a(1+x1)=-b -x1=1+b/a=1-(a+c)/a=-c/a
所以 |AB|=1-x1 = 1-c/a
c/a ∈(-1/2,-2) |AB|=1-x1 = 1-c/a ∈(3/2,3)