Question

已知,AB⊥BD,ED⊥BD,C是BD上一点,且AC=EC,AC⊥EC,求证BD=AB+ED

Answer 1

证明：∵AB⊥BD,ED⊥BD
∴∠B=∠D=90°
∵AC⊥EC
∴∠ACB+∠ECD=90°①
∵∠B=90°
∴∠A+∠ACB=90°②
根据①②∠A=∠ECD
∵∠B=∠D，∠A=∠ECD，AC=EC
∴△ABC≌△CDE
∴AB=CD ED=BC
∵BD=BC+CD
∴BD=AB+ED

Answer 2

证明：

如图，

∵∠B=∠D=90°

△ABC中，∠1+∠2+∠B=180° → ∠1+∠2=90°

△ECD中，∠3+∠4+∠D=180° → ∠3+∠4=90°

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°

又∵∠2+∠3+∠ACE=180°

∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠2+∠3+∠ACE 

∴∠1+∠2=∠ACE =90°

∴∠2+∠3=90°

又∵ ∠1+∠2=90°

∴ ∠1=∠3

根据直角三角形对应直角边且斜边相等，两直角三角形全等，即RT △ABC≌RT△CDE

∴AB=CD,BC=DE

因此，BD=AB+ED成立。