Question

设函数f(x)=(a^2)lnx-x^2+ax,a>0,求f(x)单调区间，求所有实数a，使e-1≤f(x)≤e^2,对X∈[1,e]恒成立，注:e

Answer 1

解：
1、f'(x)=a^2/x-2x+a=0
解得 x1=-a, x2=2a,
根据题意 x>0，所以
f(x)在（0，+∞）内存在一个极值点 x=2a
∴ f(x)的单调区间为 (0,2a],[2a,+∞）

2、f''(x)=-a^2/x^2-2<0 因此 x=2a时 f(x)取极大值
1）当a>=e/2时 x∈[1,e] f(x)是递增函数
f(1)=a-1>=e^(-1) a>=1+1/e
f(e)=a^2 - e^2+ae<=e^2
a^2 +ae-2 e^2<=0
解得 -2e=<a<=e
∴ 1+1/e=<a<=e

2) 当a<=e/2时 x∈[1,e] f(x)是递减函数
f(1)=a-1<=e^2 a<=1+e^2
f(e)=a^2 - e^2+ae>=e^(-1)=1/e
a^2 +ae- e^2-1/e>=0
解得 a>=[-e+√(5e^2+4/e)]/2>e/2
或 a<=[-e-√(5e^2+4/e)]/2<0
都不符合要求。

综合1）、2）知1+1/e=<a<=e符合要求

Answer 2

对f(x）求导，令f(x）'=0的到2次函数，利用判别式知道其恒有2实根，且为-a/2和a,并注意到定义域的 要求所以在（0，-a/2）及（a,正无穷）上单调递减，在（-a/2,a)上单调递增，第2问要用1中的 单调性的 结论，对a与1和e的 大小进行讨论，利用单调性的出当X∈[1,e]，值域f(x)的范围，在结合已知条件e-1≤f(x)≤e^2恒成立，知道值域f(x)必包含于已知条件所给的范围，列出不等式可得到a的范围。

Answer 3

f'(x)=a^2/x-2x+a=0
解得 x1=-a, x2=2a,
根据题意 x>0，所以
f(x)在（0，+∞）内存在一个极值点 x=2a
∴ f(x)的单调区间为 (0,2a],[2a,+∞）