Question

如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB，垂足为D，弧AC=弧CE。

如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB，垂足为D，弧AC=弧CE。（1）求证：AF=CF
（2）若圆O的半径为5，AE=8，求EF的长。

Answer 1

过C作OC辅线交AE于G，则OC垂直平分AE（⌒AC=⌒CE）。

（1）∵OA=OC=r(圆半径）、∠OAG=∠OCD(两边相互垂直)，∴Rt△OAG≌Rt△OCD(ASA)。
∵OD＝OG（对应边相等），∴AD=CG，∴Rt△AFD≌Rt△CFG(ASA)，∵AF＝CE。

（2）∵r=5、AE=8、AD=GE=4，∴OD=OG=√(OA^2-AG^2)=√(5^2-4^2)=3。
∴AD=r-OD=5-3=2。
∵Rt△ADF∽Rt△AGO(AAA)，则AF/AO=AD/AG，AF=AD/AG*AO=2/4*5=5/2
∴EF=AE-AF=8-5/2=11/2

Answer 2

我来解答第一问
延长CD交圆上于H 连CA
∵CD垂直OA
∴弧CA=弧HA
又∵弧EC=弧CA
∴弧EC=弧HA
∴角HCA=角EAC
∴AF=CF