Question

如图：已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，1：求证：点D在∠BAC的平分线上

2:若将条件BD=CD条件BD=CD和结论D在∠BAC的平分线上互换，成立吗？请说明理由。

Answer 1

1.由BF⊥AC，CE⊥AB得∠BED=∠CFD=90度
则由：∠BED=∠CFD，∠EDB=∠FDC，BD=CD得△BDE≌△CFD（AAS）
所以就有ED=FD，而在△DEA和△DFA中，有
∠DEA=∠DFA，ED=FD，AD=AD，所以△DEA≌△DFA（ASS）
所以∠EAD=∠FAD，即AD是∠BAC的平分线，换句话说点D在∠BAC的平分线上。
2.把条件BD=CD和结论D在∠BAC的平分线上互换，那么原题就改成：
已知点D在∠BAC的平分线上，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：BD=CD，这个也是成立的。
证明如下：
因为 D在∠BAC的平分线上，所以∠EAD=∠FAD
由∠DEA=∠DFA=90度，∠EAD=∠FAD，AD=AD得
△DEA≌△DFA（AAS），则有ED=FD，
由∠BED=∠CFD，ED=FD，∠EDB=∠FDC得△BDE≌△CFD（ASA），
所以就有BD=CD

Answer 2

1.由BF⊥AC，CE⊥AB得∠BED=∠CFD=90度
则由：∠BED=∠CFD，∠EDB=∠FDC，BD=CD得△BDE≌△CFD（AAS）
所以就有ED=FD，而在△DEA和△DFA中，有
∠DEA=∠DFA，ED=FD，AD=AD，所以△DEA≌△DFA（ASS）
所以∠EAD=∠FAD，即AD是∠BAC的平分线，换句话说点D在∠BAC的平分线上。
2.把条件BD=CD和结论D在∠BAC的平分线上互换，那么原题就改成：
已知点D在∠BAC的平分线上，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：BD=CD，这个也是成立的。
证明如下：
因为 D在∠BAC的平分线上，所以∠EAD=∠FAD
由∠DEA=∠DFA=90度，∠EAD=∠FAD，AD=AD得
△DEA≌△DFA（AAS），则有ED=FD，
由∠BED=∠CFD，ED=FD，∠EDB=∠FDC得△BDE≌△CFD（ASA），
所以就有BD=CD

Answer 3

首先利用三角形的内角和等于180 证明∠B=∠C
再利用三角形全等证明△ABD=△ACD
证明∠BAD=∠CAD
2.也成立 就像证明条件一样证明三角形全等就行

Answer 4

先利用三角形的内角和等于180 证明∠B=∠C
再利用三角形全等证明△ABD=△ACD
证明∠BAD=∠CAD
2.也成立 就像证明条件一样证明三角形全等就行