Question

初三几何

如图，AB是圆O的直径，弦PQ交OA于M且PM=OM，求证弧AP=1/3弧BQ

Answer 1

考虑两个等腰三角形：△PMO和△POQ，其底角相等（其中一个底角是共用）
根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和的原理，
这三个不同位置且相等的底角加起来，正好等于∠QOB，即弧QB所对的圆心角；
其中一个底角正是弧AP所对的圆心角。
这样，弧AP=1/3弧BQ

Answer 2

连结OP、OQ
∵PM=OM
∴∠P=∠AOP
∴∠OMQ=∠P+∠AOP=2∠AOP
∴∠BOQ=∠Q+∠OMQ=∠Q+2∠AOP
∵OP=OQ
∴∠Q＝∠P=∠AOP
∴∠BOQ=3∠AOP
∴3弧AP=弧BQ

Answer 3

∠AOP=∠POQ=∠MQO
∠BOQ=∠BMQ+∠MQO=∠AOP+∠POQ+∠MQO=3∠AOP
弧AP=1/3弧BQ