Question

设0<a<1，函数f(x)=loga(x-3/x+3)的定义域为[m,n]

设0<a<1，函数f(x)=loga(x-3/x+3)的定义域为[m,n]，值域[loga(a(n-1)),loga(a(m-1))]
1、求证：m>3;
2、求a的取值范围

Answer 1

•    证：因 0<a<1，所以f(x)是递减函数 

                   根据题意，知 f(x)∈[f(n),f(m)]

    又f(x)∈[]    ∴f(m)=loga[a(m-1)],   即 loga(m-3/m+3)=loga[a(m-1)]  ----------①式

         ①式等价于 m-3/m+3=a(m-1)且m-3>0且m-1>0

      推得a(m+3)(m-1)=m-3且m>3-------------------------------(m的定义域取交集)

  即m2+(2-1/a)m-(3-3/a)=0且m>3------------②式（此为m的一元二次方程）

       欲使②式有解，则需使②式方程的Δ≥0且m>3.   解之，知Δ=16a2-16a+1≥0

  综上，知m>3

•        解：由于②式Δ=16a2-16a+1，欲使Δ≥0，②式才成立

      令Δ=函数g(a)=16a2-16a+1    结合该函数图象，知 函数g(a)图象为开口向上，与a轴有两个交点的一元二次函数图象。两个交点分别为  a1=(1/2)-(√3/4),  a2=(1/2)+(√3/4)

   

  ∵Δ≥0   ∴g(a)≥0     

  ∴   a的范围为   a<a1 或 a>a2   ----------完毕~