Question

已知o是△ABC内一点，且OA+2OB+3OC=0(向量) 则△AOB，△AOC，△BOC的面积之比为多少

Answer 1

答案：3： 2： 1
解：
分别延长OB、OC至B’、C‘，使得OB’=2OB，OC‘=3OC
因OA+2OB+3OC=0，即OA+OB’+OC‘=0，所以O为三角形ABC重心（三中线交点）
接下来证明三角形△AOB’，△AOC‘，△B’OC’面积相等：
设BC边上中线为AD，则S△ADB’=S△ADC‘，
在△BOC中亦有S△ODB’=S△ODC‘
所以S△ADB’-S△ODB’=S△ADC‘-S△ODC‘，即S△AOB’=S△AOC‘
同理可证三者两两相等
1.在△AOB’中，B为OB‘边中点，所以S△AOB=S△AOB’/2
2.在△AOC’中，C为OC‘边近O端三等分点，所以S△AOC=S△AOC’/3
3.在△B'OC'中，连BC'，B为OB‘边中点，所以S△BOC'=S△B'OC‘/2
在△BOC'中，C为OC‘边近O端三等分点，所以S△BOC=S△BOC'/3=S△B'OC‘/6
因为S△AOB’=S△AOC‘=S△B’OC’

△AOB： △AOC： △BOC=S△AOB’/2： S△AOC’/3： S△B'OC‘/6=3： 2： 1

Answer 2

你可以看成正三角形的外心为O，然后按1:1/2:1/3的方式取OAOBOC，然后直接算就行了，两边相乘再乘夹角正弦，再乘0.5就好了~~
△AOB=0.5*1*1/2*sin60
△AOC=0.5*1*1/3*sin60
△BOC=0.5*1/2*1/3sin60
可以看出，比例是3:2:1
要证的话不能这样假设哈。。。O(∩_∩)O