设实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1,证明:|a-b|,|b-c|,|a-c|中必有一个不超过(2^(1/2))/2 5
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假设:|a-b|,|b-c|,|a-c|都大于√2/2
∴(a-b)^2＞1/2...①
(b-c)^2＞1/2.....②
(a-c)^2＞1/2.....③
且a^2+b^2+c^2＝1..④
化简①②③并相加,得ab+bc+ac＜1/4....⑤
又∵ab≤(a^2+b^2)/2,bc≤(a^2+c^2)/2,ac≤(a^2+c^2)/2
带入⑤得a^2+b^2+c^2＜1/4
与已知矛盾.
∴:|a-b|,|b-c|,|a-c|中必有一个不超过(2^(1/2))/2
∴(a-b)^2＞1/2...①
(b-c)^2＞1/2.....②
(a-c)^2＞1/2.....③
且a^2+b^2+c^2＝1..④
化简①②③并相加,得ab+bc+ac＜1/4....⑤
又∵ab≤(a^2+b^2)/2,bc≤(a^2+c^2)/2,ac≤(a^2+c^2)/2
带入⑤得a^2+b^2+c^2＜1/4
与已知矛盾.
∴:|a-b|,|b-c|,|a-c|中必有一个不超过(2^(1/2))/2
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