Question

高中证明函数是增函数的方法，至少列举三种。

Answer 1

证明：f(x)=x^3是R上的增函数。
方法一：（定义法）设任意x1、x2∈R且x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=(x1)^3-(x2)^3=(x1-x2)[(x1)^2+(x1x2)+(x2)^2]<0，即f(x1)<f(x2)，
因此f(x)是R上的增函数。

方法二：（求导法）
f(x)的导函数=3x^2≥0，因此函数在R上递增。

方法三：（反证法）
假设f(x)=x^3不是R上的增函数，那么一定存在实数x1、x2且x1<x2，使得f(x1)≥f(x2)，
即当x1<x2时，(x1)^3-(x2)^3≥0等价于(x1-x2)[(x1)^2+(x1x2)+(x2)^2]≥0，
由于x1-x2<0，所以得(x1)^2+(x1x2)+(x2)^2≤0
等价于[x1+(x2)/2]^2+(3/4)*(x2)^2≤0等价于x1=x2=0，这与题设x1<x2相矛盾，因此假设错误，原命题正确，即f(x)=x^3是R上的增函数。

Answer 2

作差法与0比，作商与1比，求导判断符号，利用图像直接观察。

Answer 3

1按定义设x作差
2画图观察
3求导数

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