Question

数列{an}满足 na1+（n-1)a2+2an-1+an=（9/10）^n-1+（9/10）^n-2+……+9/10+1 n= 1,2,3，……

求an的通项公式
若bn=-（n+1)an,试问是否存在正整数k使bn≤bk

Answer 1

（9/10）^n-1+（9/10）^n-2+……+9/10+1=1*(1-（9/10）^n)/(1-9/10)=10*(1-（9/10）^n)
即： na1+（n-1)a2+2an-1+an=10*(1-（9/10）^n) (1)
所以n为n-1时：
（n-1）a1+（n-2）a2+........+a(n-1)=10*(1-（9/10）^(n-1)) (2)
(1)-(2)得：
a1+a2+......+an=10*(1-（9/10）^n)- 10*(1-（9/10）^(n-1))
sn=10*(1-（9/10）^n)- 10*(1-（9/10）^(n-1))=(9/10)^（n-1）
an=sn-s(n-1)=(9/10)^（n-1）-(9/10)^（n-2）=9^(n-1)/10^(n-2)

Answer 2

这题目应该是压轴题吧。
<1> 应用错位相减与an=Sn-Sn-1 求解
na1+（n-1)a2+2a(n-1+an=（9/10）^n-1+（9/10）^n-2+……+9/10+1......1&
(n-1)a1+（n-2)a2+a(n-1)=（9/10）^n-2+（9/10）^n-2+……+9/10+1.....2&
1&-2& 可知 Sn = (9/10)^n-1 (n≥2 这么减出来要注意这个条件)
[不必把（9/10）^n-1+（9/10）^n-2+……+9/10+1求和直接减更简单]

an=Sn-Sn-1=(9/10)^n-1-(9/10)^n-2= -(1/10)×(9/10)^n-2 (n≥2)
[注意有负号，1L这里算错了...]
现在还要单独判定a1的值域 1*a1 = 1 所以 a1=1

<2> 应用数列单调性法求解。不要忘记，b1要单独考虑
首先确定b1的值 b1 = -2*1=-2
n≥2 时候 bn = (n+1)/10 × (9/10)^n-2 (n∈Z+)
那么，bn+1 - bn = (n+2)/10 × (9/10)^n-1- (n+1)/10 × (9/10)^n-2
=(1/10)×(9/10)^n-2 ×[9(n+2)/10-(n+1)]=(1/10)×(9/10)^n-2 ×(-n+8)/10
于是，我们知道当 2≤n≤7 时 bn+1-bn>0
n=8时候 b8=b9
n≥9时候 bn+1-bn<0
也就是说2≤n≤7时，bn递增，
b8=b9 n≥9 bn递减
所以bn最大值=b8=b9 （n≥2）已知b1<0<b8=b9

存在k=8或9,使得bn≤bk