Question

如同所示,三角形ABC中,角三角形BAC为锐角，AD垂直BC,BE垂直AC，垂足分别为D，E，AD,BE交于H，AD=BD

求证1·BH=AC
2·现将角BAC改为钝角，按题设要求画出图形，结论BH=AC是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由

Answer 1

1.证明:∵∠DBH+∠C=90º;∠DAC+∠C=90º.

∴∠DBH=∠DAC(同角的余角相等);

又AD=BD,∠BDH=∠ADC=90度.

∴⊿BDH≌⊿ADC(ASA),BH=AC.

2.结论BH=AC成立.

证明:∵∠DBH+∠C=90º;∠DAC+∠C=90º.

∴∠DBH=∠DAC(同角的余角相等);

又AD=BD,∠BDH=∠ADC=90度.

∴⊿BDH≌⊿ADC(ASA),BH=AC.

Answer 2

你题目中说“如图所示”，可是你未给出图形来，这对解题影响很大。
证明：1.如果角BAC为锐角，则垂足D位于线段BC中。在三角形BCE和三角形ACD中，角ADB＝角BEC＝90度，且角C为公共角，所以这两个三角形相似，则角CBE＝角CAD。在三角形BDH和三角形ADC中，角ADB＝角ADC＝90度，角CBE＝角CAD，且AD＝BD，所以三角形BDH全等于三角形ADC，则BH＝AC。
2.如果角BAC为钝角，则垂足D位于线段BC中但垂足E位于线段CA的延长线上，与BE交于E点，E点并不位于CA中。因为角C的两边BC和CE，分别垂直于角H的两边DH、BEH，所以角C等于角H且为锐角（三角形BAC中，角BAC为钝角，所以角C必为锐角）。在三角形BDH和三角形ADC中，AD=BD，角ADC＝角BDH＝90度，角C等于角H，所以三角形BDH全等于三角形ADC，所以BH＝AC。可见，结论依然成立。