Question

高等数学 求极限 等价无穷小代换问题 求高人解答，谢谢！！

两个题目的比较 疑惑
题1：lim（x趋0）[x-ln(1+x)]/x² 这里老师讲ln(1+x)]~x，而非=x,所以不能直接用等价无穷小代换。为什么不行呢？
题2:lim（x趋0）(tanx-x)/x²tanx 这里的tanx~x，为什么就可以做等价无穷小代换了呢？
求高人解答，谢谢！！

Answer 1

题目1 无穷小等价代换只能用在乘积或商的情况，你这个题目中x与ln(1+x)是减的关系，所以不能用等价代换。
题目2中分母的tanx是可以用x代换的，分子中的不能代换，理由同1.

Answer 2

第一题 等价无穷小只能在整体中的乘除可以代换 x-ln(1+x) 是加减 所以不能代换
ln(1+x)其实等于x-x^2/2+x^3/3....(-1)^(n-1)x^n/n+o(x^n).这个才是ln(1+x)真正等于的结果
第二题的道理一样 tanx-x是加减不能代换 x^2tanx中是tanx和x^2相乘所以可以代换

Answer 3

1：等价无穷小只能是整体代换，而乘除是可以的，加减不可以
2：分母是乘除，所以分母的tanx可以代换，分子的不行

Answer 4

ln(1+x)]与x只是有相同的趋势