Question

关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0,x²-4mx+4m²-4m-5=0(m∈Z)，求根均为整数的充要条件

Answer 1

解：（解题思路，先根据条件关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0,x²-4mx+4m²-4m-5=0的根均为整数，来求出m的值，之后再证明是否是充要条件即可。）
因为方程mx²-4x+4=0是关于x的一元二次方程，则m≠0
设x1,x2为该方程的两个根，则根据韦达定理可得：
x1+x2=4/m
x1x2=4/m
因为根为整数，那么4/m必然为整数，则有m必然为4的约数，则m=±1, ±2, ±4
将m=±1, ±2, ±4依次带入方程mx²-4x+4=0检验得m=1,2,4满足方程mx²-4x+4=0根为整数的条件。
再将m=1,2,4分别代入方程x²-4mx+4m²-4m-5=0检验可知：
m=1满足方程x²-4mx+4m²-4m-5=0.根为整数的条件

从以上计算过程来看，由方程所有根都是整数得出m=1，显然m=1为方程所有根均为整数的充分条件。
下面来看m=1是否也是两个方程所有根为整数的必要条件。
必要条件即：已知m=1,则方程mx²-4x+4=0,x²-4mx+4m²-4m-5=0的根都为整数。
当m=1时，两个方程即：x^2-4x+4=0,x^2-4x-5=0
易求得两个方程的根分别为：x=2和x=5或-1，所有根均为整数。
必要性获证。

综上可知：m=1是关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0,x²-4mx+4m²-4m-5=0(m∈Z)根为整数的充要条件。