Question

lim (x->0)[根号下（1+tanx)-根号下（1+sinx)]/xln(1+x)-x²

Answer 1

lim(√(1+tanx)-√(1+sinx))/(xln(1+x)-x^2)
=lim(tanx-sinx)/(xln(1+x)-x^2)(√(1+tanx)+√(1+sinx))
=(1/2)lim(tanx-sinx)/(xln(1+x)-x^2)
=(1/2)lim(x+x^3/3!+o(x^4)-(x+x^3/3!+o(x^4))/(x(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3））-x^2)
=（1/2)lim(x^3/3+o(x^4))/(-x^3/2+o(x^3))
=(1/2)(-3/2)=-3/4

Answer 2

分子分母同时乘以[根号下（1+tanx)+根号下（1+sinx)]，分子变成tanx-sinx，分母变成2[xln(1+x)-x²]，其中2是由[根号下（1+tanx)+根号下（1+sinx)]得到的，运用洛必达法则，(sec²x-cosx)/2[ln(1+x)+x/(1+x)-2x]，分子分母同乘以cos²x，(1-cos³x)/2[ln(1+x)+x/(1+x)-2x]，分子分母同乘以(1+x)，(1-cos³x)/2[(1+x)ln(1+x)+x-2x-2x²]，洛必达法则，3cos²xsinx/2[ln(1+x)+1+1-2-4x]，即3x/2[ln(1+x)-4x]，洛必达法则，3/[2/(1+x)-8]=-1/2

Answer 3

目次是无穷大。。。