Question

'在一个圆内接一个四边形，它的四边长分别为1、2、3、4，求这个四边形的面积

Answer 1

设圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，AD=4，连结BD，
根据余弦定理，
BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cos<BAD,
BD^2=1+16-8cos<BAD=17-8cos<BAD,(1)
BD^2=4+9-12*cos<BCD=13-12cos<BCD,(2)
∵〈BAD+〈BCD=180°
∴cos<BAD=-cos<BCD,
∴BD^2=13+12*cos<BAD(3)
(3)-(2)式，
-4+20cos<BAD=0,
cos<BAD=1/5,
∴sin<BAD=sin<BCD=2√6/5
∴S△ABD=(1/2)AD*ABsin<BAD=(1/2)*1*4*2√6/5=4√6/5，
S△CBD=(1/2)BC*CDsin<BCD=(1/2)2*3*2√6/5=6√6/5，
∴S四边形ABCD=4√6/5+6√6/5=2√6。