Question

四面体A-BCD中，E,F分别是AB,CD的中点，若BD,AC所成的角为60°，且BD=AC=1，求EF的长。

Answer 1

取BC的中点M，连接EM、FM
∵E是AB的中点、F是DC的中点
∴EM∥AC且EM=AC/2=1/2，FM∥BD且FM=BD/2=1/2
∴EM=FM
∵BD,AC所成的角为60°
∴∠EMF=60°或∠EMF=120°
当∠EMF=60°时，ΔEMF是等边三角形
∴EF=EM=1/2
当∠EMF=120°时，过点M作MN⊥EF，交EF于点N
则EN=FN，∠NEM=30°
∴MN=EM/2=1/4，EN=√3NM=√3/4
∴EF=2EN=√3/2

Answer 2

取AD、BC中点M、N，连结MENF，
因ME//BD//NF，MF//AC//NE,ME=BD/2=NF1/2，MF=AC/2=NE=1/2，所以MENF是菱形
因BD,AC所成的角为60°，所以∠MEN=60°或120°，结合上图可知∠MEN=60°
所以MN=ME=MF=1/2
因MENF是平行四边形，所以有四边平方和等于对角线平方和
代入可求得(1/2)²*4=(1/2)²+EF²
所以EF=(根号3)/2