Question

如图 阴影是集合 在平面直角坐标系上表示的点集

阴影是集合 p={(x,y)|(x-cosa)2 +(y-sina)2=4 0<<a<<π} 在平面直角坐标系上表示的点集，则阴影中间形如“水滴”部分的面积等于

图到也 画出来了 ， 话说这个面积怎么求 啊 ？

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Answer 1

这个图形挺漂亮的，解这个题需要用到一个叫包络线的理论

曲线p(x,y,α)的集合为包含变参数α的曲线簇，则其包络线方程为：

p(x,y;α)=0, ∂p(x,y;α)/∂α=0，即为

(x-cosα)²+(y-sinα)²-4=0, 2(x-cosα)*sinα-2(y-sinα)*cosα=0

由第二个方程可得 (y-sinα)=(x-cosα)*tanα                (1)

代入第一个方程可得 (x-cosα)²*[1+tan²α]-4=0

整理，解得x=3cosα 或 x=-cosα

将x代入(1)式，可得 y-sinα=±2cosα*tanα=±2sinα

整理，解得y=3sinα 或 y=-sinα

 所以，曲线簇p(x,y,α)有两条包络线，即：

{x=3cosα，y=3sinα}和{x=-cosα，y=-sinα}

第一条为半径为3的一个半圆（左图中曲线外沿x轴上方的半个圆）

第二条为半径为1的一半半圆（左图中曲线内沿x轴下方的半个圆）

（其实若α取[0,2π]，两条包络线都是圆，但现在只取[0,π]，故只有半个圆）

 

至于中间要求的那个水滴形状的图形，它是由两部分组成的

下面部分为内包络线的半个圆，

上面部分为α端点值的两个圆相交部分的一半（见右图）

如右图，1、2、3、4四部分面积之和即为两个圆相交的公共面积

1、2、3三部分面积之和即为所求水滴形的面积

3的面积是易求的，S3=1/2*π*1^2=π/2

1、2的面积和也容易求，因两个端点圆半径为2，而内包络圆半径为1

∴内包络半圆弧的两端点分别在两个端点圆的圆心，同时，两个圆分别经过这两点

∴两圆的交点与圆心构成正三角形，

则1、2面积之和为两个半径为2的60°扇形面积之和与一个边长为2的正三角形的面积之差

S12=2S扇形（半径为2，顶角60°）-S正三角形（边长为2）

=2*1/2*π/3*2^2-√3/4*2^2

=4π/3-√3

∴S水滴=S3+S12

=π/2+4π/3-√3

=11π/6-√3

≈4.03