什么是共轭向量
共轭向量就是两个向量大小相同，方向相反。
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a。
由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点的坐标。
扩展资料：
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示。
大小和方向的概念亦不一定适用。在向量空间上介定范数和内积，这允许把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。
参考资料来源：百度百科-共轭
参考资料来源：百度百科-向量
羿射旭
2025-06-30 广告
共轭向量就是两个向量大小相同，方向相反。
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a。
由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点的坐标。
扩展资料
以一组共轭方向作为搜索方向来求解无约束非线性规划问题的一类下降算法。是在研究寻求具有对称正定矩阵Q的n元二次函数
f(x)=1/2xQ x+bx+c
最优解的基础上提出的一类梯度型算法，包含共轭梯度法和变尺度法。根据共轭方向的性质，依次沿着对Q共轭的一组方向作一维搜索，则可保证在至多n步内获得二次函数的极小点。
共轭方向法在处理非二次目标函数时也相当有效，具有超线性的收敛速度，在一定程度上克服了最速下降法的锯齿形现象，同时又避免了牛顿法所涉及的海色(Hesse) 矩阵的计算和求逆问题。
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a。
由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点的坐标。
在数学中常见的共轭有：共轭复数，共轭根式，共轭矩阵，共轭转置，共轭分布，共轭先验，共轭函数, 共轭方向，共轭方向法，共轭梯度
法。
我们在关注共轭时，主要关注共轭的配对规律，共轭的性质，以及取共轭可以带来什么样的数学或应用优势。
1. 共轭复数
配对规律：在复数中，实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数。
公式描述：z=a+ib 与 \widetilde{z}=a-ib 互为复数
共轭性质：1）加和为实数
2）在复平面上，共轭复数所对应的点关于实轴对称
2. 傅里叶变换的共轭对称性
说明：这里的共轭就是上面介绍的复数共轭，不是指傅里叶变换与傅里叶反变换是一对共轭。
定义：
3. 共轭根式(radical conjugates)
配对规律：两个不等于零的根式A、B，若它们的积AB不含根式，则称A、B互为共轭根式。
共轭性质：通过相乘能把根式去掉。
描述：对根式的模式没有要求，只要满足配对规律的就都是共轭根式。
4. 共轭矩阵（自共轭矩阵、Hermitian（埃尔米特）矩阵）
描述：一般共轭矩阵是一个复数矩阵，实对称阵是Hermite阵的特例。
配对规律：矩阵中第i行第j列的元素与第j行第i列的元素互为共轭复数，的矩阵称为共轭矩阵。
公式描述：对于一个复数矩阵 A=(a_{ij}),如果a_{ij}=\widetilde{a_{ji}},则称A为共轭矩阵。
若用H表示矩阵的旋转取共轭操作（称为共轭转置操作），则满足A^{H}=A的矩阵是共轭矩阵。
性质：1）主对角线上的元素全是实数。
2）若A 和B 是Hermite阵，那么它们的和A+B 也是Hermite阵
3）若A 和B 是Hermite阵，如果满足AB=BA，那么AB与BA也是Hermite阵
4）更多性质可参考《矩阵分析与应用（张贤达 第2版）》第101页。拥有很多很好的性质。
5. 共轭方向
组配对规律：对于一组n维的非零(列)向量\{v_1,v_2,v_3,...v_i,...v_j,...\}和一个n*n的对称正定矩阵 Q，若 v_{i}^{T}Qv_j=0，则称这组向量关于矩阵Q是互相共轭的。因为每个向量都可以表示一个方向，所以称为共轭方向。
描述：由定义可知，在高维空间中，一个方向向量的共轭方向不是唯一的，而是一组。
特例：当Q为单位矩阵时，v_{i}^{T}v_j=0，此时这组向量是正交的。由此可见，正交是共轭的一种特殊情况，共轭是正交的推广。
性质：1）互为共轭的一组向量，线性无关
2）n维空间中，关于任何一个n*n的对称正定矩阵 Q， 非零的共轭向量个数不超过n。
