Question

如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证:DE=2AM

Answer 1

延长AM至N，使MN=AM，则ABNC是平行四边形。（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
所以∠CAN=∠ANB（两直线平行内错角相等）
由已知得∠EAD+∠BAC=180°（由周角定义及AB⊥AE,AD⊥AC垂直定义）

△ABN中，

∠ABN+∠BAN+∠ANB=180°（三角形内角和定理）
所以
∠ABN+∠BAN+∠CAN=180°（等量代换）
即∠ABN+∠BAC=180°（等量代换）
又∠EAD+∠BAC=180°
所以∠ABN=∠EAD（同角的补角相等）
又BN=AC=AD,BA=AE
所以，△BNA≌△ADE（SAS）
所以，NA=DE（全等三角形对应边相等）
所以，2AM=DE（等量代换）

Answer 2

AC,AC均不在角BAE内，在角BAE外
证明：延长AM，使AM=MF，连接BF,CF
因为M是BC的中点
所以BM=CM
所以四边形ABFC是平行四边形
所以AM=1/2AF
BF=AC
BF平行AC
所以角ABF+角BAC=180度 （两直线平行，同旁内角互补）
因为角BAC+角CAD+角EAD+角BAE=350度
因为AB垂直AE
所以角BAE=90度
因为AD垂直AC
所以角CAD=90度
所以角BAC+角EAD=180度
所以角ABF=角EAD
因为AC=AD
所以BF=AD
因为AB=AE
所以三角形ABF和三角形EAD全等（SAS)
所以DE=AF
所以DE=2AM