Question

不等式证明:a^2/(a^2+b^2)<(lnb-lna)/(b-a)<1/((ab)^(1/2))

对,是2a,条件是0<a<b
谢谢你!用中值定理可以很快证明左边,右边我没有证明出来

Answer 1

第一部分打错了,是2a?
a,b大小有条件么？a>b? b>a?
不好意思，确实有点难度
我在想....

那我就给你证右边就行了
用这个中值定理:
(f(x1)-f(x2))/(g(x1)-g(x2))=f'(p)/g'(p)
其中 x1<p<x2

设f(x)=ln(x),g(x)=√x-1/√x
则(f(b/a)-f(1))/(g(b/a)-g(1))=f'(p)/g'(p)
其中1<p<b/a
这是关键，以下可以不看自己算就行了，写的太乱）

f(b/a)-f(1)=lnb-lna
g(b/a)-g(1)=√(b/a)-√(a/b)
f'(p)=1/p
g'(p)=1/2*(p^(-1/2)+p^(-3/2))
f'(p)/g'(p)=2/(√p+1/√p)<1
原因是用均值不等式易得√p+1/√p>2