Question

如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于D,求证：AB-AC＞BD-CD

Answer 1

在AB上截取AF=AC，连接DF，
∵∠DAB=∠DAC，AD=AD，
∴ΔADF≌ΔADC，∴DF=DC，
在ΔBDF中，BD-DF<BE，
又BE=AB-AC，
∴BD-CD<AB-AC，
即AB-AC>BD-CD。

追问

为什么在ΔBDF中，BD-DF<BE？

追答

在AB上截取AE=AC,连接DE
∵AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD
∴△ADE ≌△ADC
∴DE=CD
∵BE＞BD-DE （三角形两边之差小于第三边）
∴BE＞BD-CD
∵BE=AB-AE=AB-AC
∴AB-AC＞BD-CD

Answer 2

证明：因为AB>A
所以在AB上截取AE=AC，连接DE
因为AD平分角BAC
所以角DAE=角DAC
因为AD=AD
所以三角形DAE和三角形DAC全等（SAS)
所以DE=DC
在三角形BED中
BE+DE>BD
所以AC+BE+CD>BD+AC
所以AE+BE+CD>BD+AC
因为AB=AE+BE
所以AB+CD>BD+AC
所以AB-AC>BD-CD