Question

已知二次函数f(x)二次项系数为a,且f(x)>-2x的解集为(1,3).

1：如果方程f(x)+6a=0有两个相等的根..求f(x)的解析式..
2；若f(x)+3＜0对于任意x属于R恒成立，求a的范围。

Answer 1

f(x)+2x>0的解集为(1,3)
因此有：f(x)+2x=a(x-1)(x-3), 且a<0
故f(x)=a(x-1)(x-3)-2x
1) f(x)+6a=a(x^2-4x+3)-2x+6a=ax^2-2(2a+1)x+9a
有等根，即delta=0
（2a+1)^2-9a^2=0
5a^2-4a-1=0
(5a+1)(a-1)=0
a=-1/5, 1,
因a<0, 所以只能取a=-1/5

2)f(x)+3=a(x^2-4x+3)-2x+3=ax^2-2(2a+1)x+3a+3<0, 对任意x成立
则有delta<0
即(2a+1)^2-a(3a+3)<0
a^2+a+1<0
此不等式的解为R， 但因a<0
故a的取值为a<0。

追问

则有delta<0
= = 。不懂啥意思。

追答

就是二次函数与x轴无交点。方程无实根。

追问

△＜0，不等式不是应该无解么？

追答

△＜0, 只是与X轴无交点。
如果a0, 而解的不等式为ax^2+bx+c<0, 则才是无解。

追问

哦，明白了。谢谢~

Answer 2

解：（1），f(x)>-2x
f(x)+2x>0
因为二次项系数为a, 且1<x<3
所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)
f(x)=a(x^2-4x+3)-2x
f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a
f(x)+6a=ax^2-(4a+2)x+3a+6a=ax^2-(4a+2)x+9a=0
当△=0 时，方程才有两个相等的根，
△=[-(4a+2)]^2-4*a*9a=16a^2+16a+4-36a^2=0
化简得： 5a^2-4a-1=0
a=1 或 a=-1/5
因为f(x)+2x=a(x-1)(x-3)>0 且1<x<3 , 所以(x-1)(x-3)<0 可推出a<0
所以a=-1/5
（2）
f(x)+3<0
ax^2-(4a+2)x+3a+3<0
ax^2-(4a+2)x+3a+3<0
当△<0 方程有无穷多个解
△=16a^2+18a+4-12a-12=16a^2+6a-8=8a^2+3a-4<0
8a^2+3a-4<0
a^2+3/8a -1/2<0
(a+3/16)^2<129/256
所以a取值范围是：-(3+√129)/16 <a< (-3+√129)/16

希望对你有所帮助

Answer 3

　　解：（1）设f（x）=ax*2+bx+c 则有：ax*2+bx+c>-2x 的解集是（1，3） 则ax*2+（b+2）x+c=0的解集是（1，3） 将x=1和x=3代入ax*2+（b+2）x+c=0 则：
　　a+b+2+c=0和9a+3b+6+c=0 将两式做处理可得：b=-2-4a 和3a=c
又因为ax*2+bx+c+6a=0 有两相等根 则 b*2-4ac=0 将b=-2-4a 和3a=c 代入b*2-4ac=0
解得a1=1 a2=-1/5 由题可知a＜0 所以a=-1/5 所以b=-6/5 c=-3/5
所以 f（x）=-1/5x*2-6/5x-3/5
（2）因为f(x)+3＜0对于任意x属于R恒成立，则：ax*2-（4a+2）x+3a+3＜0则：△＜0 a*2+a+1<0 解得a无解 又因为由题可知a＜0综上所述：a<0

Answer 4

不等式f(x)>－2X解集是1<x<3，则：
方程f(x)=－2x的根是x1=1、x2=3，则：
f(x)＋2x=a(x－1)(x－3)，a<0即f(x)=ax²－(4a＋2)x＋3a
则：
(1):f(x)＋6a=0即为：ax²－(4a－2)x＋9a=0有等根，得：
(4a－2)²－36a²=0
－20a²－16a＋4=0
5a²＋4a－1=0
得：a=－1或a=1/5【舍去】
(2)f(x)+3=ax^2-(4a+2)x+3a+3<0对于R恒成立，则有：判别式=(4a+2)^2-4a(3a+3)<016a^2+16a+4-12a^2-12a<04a^2+4a+4<0a^2+a+1<0(a+1/2)^2+3/4<0a无解。