Question

如图,△ABC是⊙O的内接三角形,高AD,BE相交于点F,延长BE交弧AC于点G.

(1)求证：EF=EG;
(2)若延长FD交⊙O于点H，求证：C是△FGH的外心。

Answer 1

①连接AG. ∵Rt△AGE≌Rt△AFE
｛AE公共边；∠EAF＝∠DBF（对应边两两垂直）＝∠EAG（同弧GC上的圆周角相等）｝
∴GE FE (对应边相等）。
②∵CA为GF的中垂线（已知BG⊥AC；已证GE＝FE），故CG＝CF(中垂线性质）；
同理：HD＝FD，CB为HF的中垂线，CH＝CF；即CH＝CF＝CG.
∴C为△FGH外心，（外心到△三个顶点的距离相等）。

Answer 2

证明：（1）连接AG，易得∠GAC=∠GBC=∠HAC（同互所对的圆周角相等）（同角的余角相等）
所以三角形AGE全等于三角形AFE,所以EF=EG;
（2）由（1）知AC垂直平分GF,同理可得BC垂直平分FH，所以C是△FGH的外心

Answer 3

①连接AG,AE公共边；EAF＝∠DBF（对应边两两垂直）,∠DBF＝∠EAG（同弧GC上的圆周角相等)EAF＝∠EAG,∵Rt△AGE≌Rt△AFE
②∵CA为GF的中垂线(已证), 同理：HD＝FD，CB为HF的中垂线，可得CH＝CF＝CG
∴C为△FGH外心。

Answer 4

①连接AG. ∵Rt△AGE≌Rt△AFE
｛AE公共边；∠EAF＝∠DBF（对应边两两垂直）＝∠EAG（同弧GC上的圆周角相等）｝
∴GE FE (对应边相等）。
②∵CA为GF的中垂线（已知BG⊥AC；已证GE＝FE），故CG＝CF(中垂线性质）；
同理：HD＝FD，CB为HF的中垂线，CH＝CF；即CH＝CF＝CG.
∴C为△FGH外心，（外心到△三个顶点的距离相等）。
这样应该是对的~