Question

高一数学抽象函数的问题

我刚学到抽象函数，虽然抽象但我很想理解。老师上课讲f（x）=5x+1还有f（2x+2）=5x+1请各位前辈告诉我f（x）和f（2x+2）的联系和区别饿，和和定义域和值域的关系，请解答，越详细越好，最好举几个例子
我想问下这题怎么做f（x-y）-f（y）=（x+2y+1）x，f（1）=0，求f（x）

Answer 1

对f(x)=5x+1,可以写成y=5x+1,在初中就知道，这是一次函数
对于f(2x+2)=5x+1(*)
左边不能写成y，【要写成y必须括号内是一个单个的正的未知数】
那么我们可以把2x+2打包，写成一个t，就是设2x+2=t, 解出x=(t-2)/2
把以上二式代入(*)式 得到f(t)=5*(t-2)/2+1=(5t-8)/2,这就是后一个式子的意思了，
也可以写成f(x)=(5x-8)/2
所以这是二个不同的函数，因为这二个都是一次函数，比较简单，定义域和值域都是R，但它们的图象就是不同的直线。

追问

我想问下这题怎么做f（x-y）-f（y）=（x+2y+1）x，f（1）=0，求f（x）

Answer 2

通俗地讲，f其实可认为是自变量在取值后，进行运算的“程序”，如f（x）=5x+1中的f可以视为
5*（ ）+1，这样当自变量x=m时，f（m）=5*（m）+1=5m+1，
而f（2x+2）=5x+1，可理解为自变量取2x+2时，按照f所反映的内在“程序”，进行运算后，其结果为5x+1，因此关键在于找出f所反映的运算“程序”。

Answer 3

抽象函数是比较难理解，在于它没有准确的函数式，只告诉了我们关系。来看f（x）和f（2x+2），2x+2作为一个整体带入了这个函数式。但是，要理解，f（x）=5x+1还有f（2x+2）=5x+1不是一个函数，并不是整体带入那么简单。f（2x+2）=5x+1并不是f（x）=5x+1经过变换得出来的，而是另外的函数式。对f（2x+2）=5x+1变形，变成f（x）的形式应该是f（x）=5t/2-4。这样一比较，就明朗了。当然有另一种情况，就是我们令t=2x+2，带入f（x）=5x+1，变成f(t)=5t+1=5(2x+2)+1。其实就是f（2x+2）=5(2x+2)+1，你是想问这个的定义域和值域与f（x）=5x+1的关系吧。如果说f（x）=5x+1的定义域是G（随便说的一个定义域），那么在f（2x+2）=5(2x+2)+1中，2x+2属于G。不明白的话，欢迎继续提问。

Answer 4

对于抽象函数的问题，实质上你只需要记住两点：
1、不论f（x）还是f（2x+2），定义域永远是自变量x的取值集合；（联系）
2、在同一个题目中，f（……）函数括号里的取值范围永远一样。
而对于你所问的问题，f（x）=5x+1和f（2x+2）=5x+1是两个不同的函数，因为它们的对应法则不同。（区别）
f（x）=5x+1是指 x ——>5x+1
而f（2x+2）=5x+1是指2x+2——>5x+1 ，如果令t=2x+2，解得 x=(t-2)/2，所以5x+1=（5t-8）/2,
此时对应法则的实质应该是t——>（5t-8）/2

追问

我想问下这题怎么做f（x-y）-f（y）=（x+2y+1）x，f（1）=0，求f（x）

Answer 5

两个函数的表达式不一样。这里需要对第二个函数做处理
设2x+2=t
x=t/2-1
故f(t)=5t/2-4
用x代替t
则第二个函数的表达式是
f(x)=5x/2-4

这下你就可以比较第一个和第二个表达式的区别和联系了。
至于定义域，值域，太easy了，不需要多说了吧？