Question

如图,AD‖BC,BE平分∠ABC,AE平分∠BAD,AB=AD+BC,求证:E是CD中点

Answer 1

方法：1，如图：

在AB上截取AF=AD,

因为AE平分∠BAD，所以∠1=∠2

在三角形ADE和三角形AFE中：AD=AF,∠1=∠2,AE=AE,

所以三角形ADE全等于三角形AFE

所以，DE=FE

因为AB=AD+BC，

所以AB-AD=BC, 

因为AF=AD，

所以AB-AD=BF=BC

因为BE平分∠ABC，所以∠3=∠4

在三角形FBE和三角形CBE中：

BF=BC,∠3=∠4,BE=BE

所以三角形FBE全等于三角形CBE

所以EC=FE

所以DE=EC,即E是CD中点

方法2：如图

延长AE,交BC的延长线于点F，

因为AD‖BC ，所以∠1=∠F，

因为AE平分∠BAD，所以∠1=∠2 ，所以∠2=∠F

所以AB=FB,

因为AB=AD+BC，所以FB=AD+BC ，即AD=FB-BC,所以AD=FC

在三角形ADE和三角形FCE中：

∠1=∠F，∠3=∠4，AD=FC

所以三角形ADE全等于三角形FCE

所以DE=CE,即E是CD中点

Answer 2

延长AD和BE的延长线交于F
∵AD∥BC
∴∠AFB=∠EBC
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
即∠ABF=∠EBC
∴∠ABF=∠AFB
∴△ABF是等腰三角形
∵AE平分∠BAD
∴AE⊥BF且平分BF(等腰三角形，三线合一）
BE=EF
∵AB=AD+BC
AF=AB=AD+DF
∴BC=DF
在△DEF和△BCE中
BC=DF
EF=BE
DFE=∠EBC
∴△DEF≌△BCE
∴DE=CE
即E是CD中点

Answer 3

过E做平行线 即EF//AD//BC

因两平行线内错角相等 即1=3,4=6

又因BE平分∠ABC,AE平分∠BAD

所以2=3,5=6

综上得2=3，4=5

等腰三角形特点 AF=FE,FB=FE 所以EF=1/2AB

根绝题意AB=AD+BC

所以EF=1/2（AD+BC）

故在梯形中E为CD的中点