Question

高中数学椭圆类题目

已知椭圆C：y^2/a^2+x^2/b^2=1(a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形，直线l:x-y-b=0是抛物线x^2=4y的一条切线
（1）求椭圆C的方程
（2）直线l交椭圆C于A,B两点，若点P满足向量OP+向量OA+向量OB=向量0（O为坐标原点），判断点P是否在椭圆C上，并说明理由

急需！！！！！

Answer 1

（1）由于两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形，由几何关系可知c=b，直线l:x-y-b=0是抛物线x^2=4y的一条切线，可求出b，求法可用辨别式法，本人用导数法，x^2=4y，设切点为(x0,y0)，求导数，得y'=0.5x，切线l为x-y-b=0，切线斜率为1，所以0.5x0=1，解得x0=2，
y0=(1/4)x0^2=1，注意切点经过切线，所以吧(2,1)代人切线方程，可求出b=1，所以c=1，a²=b²+c²=2。
（2）这里我写解题过程，具体结果楼主解决，由（1）可知椭圆和直线方程，联立方程组可以求出A，B两点坐标，根据OP+向量OA+向量OB=向量0，可求出P点坐标，把P代人椭圆方程判断即可。

Answer 2

解:(1)两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形,可知 c=b
x-y-b=0是抛物线x^2=4y的一条切线，那么将y=x-b 带入 x^2=4y
可知 x^2-4x+4b=0 有唯一解，
△=0→ b=1
(2)可以直接算出A，B交点。 设A（1，0）
椭圆方程 y^2/2+x^2=1 ;即 y^2+2x^2 = 2 将 y = x-1带入
得到 3x^2-2x-1 = 0 x= -1/3 或1
∴y= -1/4, B(-1/3,-4/3)
向量OP+向量OA+向量OB=向量0 可知 P(-2/3,-4/3)

代入检验，P不在椭圆上