Question

函数y=2-根号-x的平方+4x的值域是多少？

函数Y=2-根号下-x^2+4X
=2- √(-x^2+4X)
=2-√[-(x-2)^2+4]
-(x-2)^2+4≤4，所以0≤√[-(x-2)^2+4] ≤2.
∴0≤2-√[-(x-2)^2+4] ≤2.
函数值域是[0,2].
可是我不明白的是为什么-(x-2)^2+4≤4？大于4会怎样？

Answer 1

这个很好理解啊，Y=-(x-2)²+4这个函数的大致图形会画吧，开口向下的一条抛物线，并且抛物线的顶点在Y轴上，就是Y=4这个位置，也就是说无论X取什么值-(x-2)²+4只可能小于或者等于4.
首先幂函数(x-2)²≥0，这个你应该知道吧，于是-(x-2)²≤0，于是-(x-2)²+4≤4
上面是画图理解，下面是计算理解

Answer 2

对于-x^2+4x=-(x-2)^2+4为什么大于4，可以构造一个函数f(x)=-x^2+4x,这是二次函数，开口向下，当x=-4/(-2)=2时，取得最大值(0-4^2)/(-4)=4. 所以，-(x-2)^2+4≤4

Answer 3

－(x－2)²＋4：这是开口向下的抛物线，画出其图像，有：
－(x－2)²＋4≤4