Question

微分中值定理的题目

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: (1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]1
第二问最后少打了等号，应该是f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1

Answer 1

(1)证明：
由介值定理知，至少存在一点ζ∈(0, 1/2), 使f(ξ)=1/2
再由介值定理知，至少存在一点η∈(ζ,1),即存在η∈(1/2,1),使f(η)=η

(2) 证明：
构造函数F(x)=e^(-λx)[f(x)-x]
则F(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导
F(η)=0, F(0)=0
∴由罗尔定理知，必存在ξ∈(0,η), 使
F'(ξ)=0
即-λe^(-λξ)[f(ξ)-ξ]+e^(-λξ)[f'(ξ)-1]=0
∴f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1