以知:在三角形ABC中,AB不等于AC,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF//BA交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分角... 40
以知:在三角形ABC中,AB不等于AC,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF//BA交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分角BAC。...
以知:在三角形ABC中,AB不等于AC,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF//BA交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分角BAC。
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证明:
在ΔDEF和ΔACE中应用正弦定理有:
DF/DE=sin(∠DEF)/sin(∠DFE)
AC/CE=sin(∠CEA)/sin(∠CAE)
因为:DE=EC,DF=AC
所以DF/DE=AC/CE,sin(∠DEF)/sin(∠DFE)=sin(∠CEA)/sin(∠CAE)
又因为:sin(∠DEF)=sin(180°-∠DEF)=sin(∠CEA)
所以sin(∠DFE)=sin(∠CAE)
又因为:DF‖AB
所以∠DFE=∠BAE
所以sin(∠BAE)=sin(∠CAE)
即得∠BAE=∠CAE或者∠BAE=180°-∠CAE
在第二种情况下∠BAE+∠CAE=∠BAC=180°
B、A、C三点共线,构不成三角形,故排除。
综上所述:∠BAE=∠CAE
即AE平分角BAC。
证毕。
在ΔDEF和ΔACE中应用正弦定理有:
DF/DE=sin(∠DEF)/sin(∠DFE)
AC/CE=sin(∠CEA)/sin(∠CAE)
因为:DE=EC,DF=AC
所以DF/DE=AC/CE,sin(∠DEF)/sin(∠DFE)=sin(∠CEA)/sin(∠CAE)
又因为:sin(∠DEF)=sin(180°-∠DEF)=sin(∠CEA)
所以sin(∠DFE)=sin(∠CAE)
又因为:DF‖AB
所以∠DFE=∠BAE
所以sin(∠BAE)=sin(∠CAE)
即得∠BAE=∠CAE或者∠BAE=180°-∠CAE
在第二种情况下∠BAE+∠CAE=∠BAC=180°
B、A、C三点共线,构不成三角形,故排除。
综上所述:∠BAE=∠CAE
即AE平分角BAC。
证毕。
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证明:如图,延长FE到G,使EG=EF,连接CG.
在△DEF和△CEG中,ED=EC,∠DEF=∠CEG,FE=EG,
∴△DEF≌△CEG.
∴DF=GC,∠DFE=∠G.
∵DF∥AB,
∴∠DFE=∠BAE.
∵DF=AC,
∴GC=AC.
∴∠G=∠CAE.
∴∠BAE=∠CAE.
即AE平分∠BAC.
在△DEF和△CEG中,ED=EC,∠DEF=∠CEG,FE=EG,
∴△DEF≌△CEG.
∴DF=GC,∠DFE=∠G.
∵DF∥AB,
∴∠DFE=∠BAE.
∵DF=AC,
∴GC=AC.
∴∠G=∠CAE.
∴∠BAE=∠CAE.
即AE平分∠BAC.
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延长AE至G,使EG=AE,连DG
因为AE=EG,DE=EC,角DEG=AEC,所以三角形DEG全等AEC,
因为DF=AC=DG,所以角G=角DFE,
因为平行,所以角BAF=角DFE=角G=角EAC,所以AE平分BAC
因为AE=EG,DE=EC,角DEG=AEC,所以三角形DEG全等AEC,
因为DF=AC=DG,所以角G=角DFE,
因为平行,所以角BAF=角DFE=角G=角EAC,所以AE平分BAC
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世界灵异事件之一,漫步的孩子。晚上12点13分,楼房角落可以看见一个原地踏步走的孩子,看不见他的脸,如果没将这消息传5个帖子,将家破人亡,被那个死于非命的孩子夺取心脏 (对不起了,不知道是那个混蛋发的)
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