Question

已知函数f(x)=Inx-a(x-1) 当x≥1时,f(x)≤Inx/(x+1)恒成立,求a的取值范围

Answer 1

当x=0时 0小于等于0 显然成立 问题等价于：当x>1时，a大于等于 [lnx-lnx/(x+1)]/(x-1)=xlnx/(x^2-1)恒成立 记上式为h(x) 求h(x)在（1，+无穷）上的最大值即为a 故对h(x)求导 结果为h'(x)=(x^2-x^2lnx-lnx-1)/(x^2-1)^2 记分子为g(x) g'(x)=x-2xlnx-1/x g''(x)=1/x^2-1-2lnx 此时根据x>1知g''(x)一定<0 故g'(x)在（1，+无穷）递减 故g'(x)小于等于g'(1)=0 故g(x)递减 g(x)小于等于g(1)=0 故h(x)递减 h(x)的极大值在x=1处取得 但当x=1时 h(x)无定义 用洛必达（L'Hospital）法则 a=当x趋于1时limxlnx/(x^2-1)=lim (lnx+1)/2x=lim (1/x)/2=1/2 即a大于等于1/2