Question

已知边长a为的正方形ABCD,点p,q分别在BC,CD边上,且∠PAQ=45°

求四边形APCQ面积的最大值

Answer 1

两种方法，我这里介绍一种：
四边形APCQ面积的最大，即三角形ABP和ADQ的和最小；
因为两个三角形底AD和AB相等即两个高DQ加上BP和最小时两个三角形面积和最小
又因为：∠QAD+∠PAB＝45°，要tan∠QAD+tan∠PAB最小则∠QAD＝∠PAB＝22.5°
所以四边形APCQ面积＝a^2-[a*(tan22.5°*a)/2]*2=a^2-a^2(tan22.5°)=a^2[1-(√2-1)]=(2-√2)a^2
怕你看不清：
结果就是2减根号2括号a的平方

另一种方法，加辅助线AC，AC长为√2a用这么已知条件算CP+CQ的最大值用sin函数。