Question

如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发

如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A-D-C以2cm/s的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，线段EF与BC平行？
（2）设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？
解：（1）设E、F出发后运动了t秒时，有EF∥BC（如图1）则
BE=t，CF=4-2t，即有t=4-2t，t=
4
3
；
∴当t为
4
3
秒时，线段EF与BC平行．
（2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切（如图2），过F点作KF∥BC交AB于K，
则BE=t，CF=4-2t，EK=t-（4-2t）=3t-4，
EF=EB+FC=t+（4-2t）=4-t．
又∵EF2=EK2+FK2，
∴（4-t）2=（3 t-4）2+22．
即2 t2-4 t+1=0，解得t=
2±2
2
，
∵1＜t＜2，∴t=
2+2
2
；
∴当t为
2+2
2
秒时，EF与半圆相切
其中的EF=EB+FC=t+（4-2t）=4-t
为什么EF=EB+FC

Answer 1

当EF与半圆O相切时,EF=EB+FC.

若楼主学过"切线长定理"就能明白.EM=EB,FM=FC,故EF=EM+FM=EB+FC.

若没学过"切线长定理"可以利用三角形全等的知识进行证明.

设EF与半圆O相切于点M,连接OE,OM,则OM⊥EM(切线的性质).

∵OM=OB;OE=OE.

∴Rt⊿OEM≌Rt⊿OEB(HL),EM=EB.

同理可证:FM=FC.

∴EF=EM+FM=EB+FC.

Answer 2

(1), AE=2-t, DF=2t-2
AE=DF, t = 4/3秒
（2）为什么EF=EB+FC，解答如下
设EF与半圆切点G，BC中点（圆心）为O
则三角形OEG与OEB全等，OGF与OCF全等
EF=EG+EF=EB+FC