Question

高中数学不等式选讲题目

1.在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长？怎样的矩形面积最大？

2.已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？
（注：需写出详细的解答过程，谢谢！）

Answer 1

解1、设对角线为A(定值)，长x，宽y

A^2=x^2+y^2≥2xy    xy≤A^2/2(x=y处取得等号)，所以面积最大值是A^2/2，此时x=y，即该矩形是正方形时，其面积最大。

解2、

见图如下：设圆柱体积是V，

V=π*r*r*h

由图中截面可以知道满足关系： r^2+(h/2)^2=R^2 

涉及到3次，用构造法：

(a+b+c)/3≥3次根号(abc)即n个正数的算术平均数不小于其几何平均数(取等号条件是所用整数相等)

R^2=r^2+(h/2)^2=r^2/2+r^2/2+h^2/4≥3倍(3次根号(r^2/2*r^2/2*h^2/4)) (r^2/2=r^2/2=h^2/4时取等号)，此时h^2=2r^2联立r^2+(h/2)^2=R^2 

得到r^2=2/3R^2   h^2=4/3R^2

根据不等式得到r*r*h≤4√3/9*R^3

则当r=√6/3*R  h=2√3/3*R时，体积可以取最大值V(max)=π4√3/9*R^3

Answer 2

1. 所有矩形的对角线都等长的。
我想你是想问等周长，面积最小是什么矩形？①
等面积，周长最小是什么矩形？②
① 边长为a,b. 周长为2k.
A=a*(k-a)=-a²+ka
当a=0.5k 面积最小
②边长为a,b，面积为A
K=2(a+A/a)≥2*2*a*A/a=4A
当且仅当a=√A时取最小值

2.V=πr²h
=πr²×√(R²-r²)
令u=r²,
求V(u)这一元二次方程的最值便可