Question

解方程x²+1/x²+x+1/x=4

Answer 1

设x+1/x=t

x²+1/x²
=x²+1/x²+2-2
=x²+1/x²+2*x*1/x-2
=(x+1/x)²-2
=t²-2

原方程表示为
t²-2+t=4
t²+t-6=0

t=2，或t=-3

x+1/x=2得到x²-2x+1=0，x=1.
x+1/x=-3，得到x²+3x+1=0，判别式△=3²-4*1*1=5＞0，有两个实数解
x1=(-3+√5）/2 ,
x2=(-3-√5）/2

Answer 2

x²+1/x²+x+1/x=4
(x+ 0.5)²+(1/x+ 0.5)²=4.5
【（x+0.5）+（1/x+0.5）】² -2（1/x+ 0.5）（x+ 0.5）=4.5
（x+1+1/x）²-（x+1/x）=7
设x+1/x=t。
（t+1）²-t=7
t²+t-6=0
t=2，或t=-3
x+1/x=2得到x²-2x+1=0，x=1.
x+1/x=-3，得到x²+3x+1=0，判别式△=8＞0，有两个实数解
x1=(-3+√8）/2 ,
x2=(-3-√8）/2

追问

额 没看懂

追答

都是对原式的简单等量变形。你化简出来就知道了。

运用到了数学中的换元法。
这种方法非常棒，在很多方程中都能用到。
换元法的要点是，换元的过程中不能对其性质发生任何改变，仅仅是简单的替换，方便计算而已。
此题中我设x+1/x=t。
那么严格的说，就应该在后面注明 t≠0，因为x+1/x不可能等于0，

还运用到平方和的公式。x²+y²=（x+y）²-2xy，下面这一步的变化就是用到这个公式。
(x+ 0.5)²+(1/x+ 0.5)²=4.5
【（x+0.5）+（1/x+0.5）】² -2（1/x+ 0.5）（x+ 0.5）=4.5

此题最后一步失误了，判别式△=b²-4ac=5，对不起，答案中，把8改成5就对了。