Question

设α，β是方程4x^2-4mx+m+2=0 的两实根，当m为何值时，α^2+β^2有最小值？求出这个最小值

详细过程

Answer 1

首先判别式=16m^2-16(m+2)>=0
m^2-m-2>=0
m>=2或者m<=-1

α+β=m

αβ=(m+2)/4

α^2+β^2
=(α+β)^2-2αβ

=m^2-(m+2)/2
=(m-1/4)^2-17/16
开口向上，最小值时需要离对称轴m=1/4最近的点
显然m=-1最近（1/4-(-1)=5/4,2-1/4=7/4）
所以m=-1最小
最小值为1-(1)/2=1/2
m=-1时，α^2+β^2有最小值1/2

Answer 2

根据韦达定理:α+β=4m/4=m αβ=(m+2)/4
再由判别式=16m^2-16(m+2)≥0,求出m的取值范围是:m≤-1或m≥2
因此 α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=m^2-(m+2)/2=(m-1/4)^2-17/16
看成关于M的二次函数，开口向上，最小值时需要离对称轴m=1/4最近的点
显然m=-1最近（1/4-(-1)=5/4,2-1/4=7/4）
所以m=-1最小，最小值为1-(1)/2=1/2
故当m=-1时，α^2+β^2有最小值1/2。