Question

设X1，X2是方程2x^2-4mx+2m^2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，X1^2+X2^2有最小值？并求出这个最小值。

Answer 1

方程2x^2-4mx+2m^2+3m-2=0的两个实数根，则△=16m^2-8(2m^2+3m-2)≥0即2-3m≥0所以m≤2/3而x1+x2=2m，x1x2＝(2m^2+3m-2)/2所以x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4m^2-(2m^2+3m-2)=2m^2-3m+2=2(m-3/4)^2+7/8而m≤2/3所以X1^2+X2^2的最小值为m=2/3时2(m-3/4)^2+7/8所得的值即为2(2/3-3/4)^2+7/8=8/9

Answer 2

因为x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2
x1+x2=(-4m)/(-2)=2m
x1x2=(2m^2+3m-2)/2
所以x1^2+x2^2=(2m)^2-(2m^2=3m-2)=2m^2-3m+2
当m=3/4时 原式有最小值 最小值为7/8