Question

若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为______

若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为______．

Answer 1

由题意知，方程x²+2mx+m²+3m-2=0有两个实数根，
则△=b²-4ac=4m²-4（m²+3m-2）=8-12m≥0，
∴m≤

2

3

，
∵x₁（x₂+x₁）+x₂²
=（x₂+x₁）²-x₁x₂
=（-2m）²-（m²+3m-2）
=3m²-3m+2
=3（m²-m+

1

4

-

1

4

）+2
=3（m-

1

2

）² +

5

4

；
∴当m=

1

2

时，有最小值

5

4

；
∵

1

2

＜

2

3

，
∴m=

1

2

成立；
∴最小值为

5

4

；
故答案为：

5

4

．