Question

在三角形ABC中，abc分别为角ABC的对边，且cos2B+cosB+COS(A-C)=1,判断三边的关系

Answer 1

解cos2B+cosB+COS(A-C)=1,
即cos2B-cos（A+C)+COS(A-C)=1,
即cos2B+2sinAsinC=1,
2cos²B-1+2sinAsinC=1,
即
cos²B+sinAsinC=1,
sinAsinC=1-cos²B
即
sinAsinC=sin²B
由正弦定理得
a/2R*c/2R=(b/2R)²
即b²=ac
即三角形三边成等比数列

Answer 2

因为cos2B+cosB+cos(A-C)=1
所以cosB+cos(A-C)=1-cos2B=2(sinB)^2
而cosB+cos(A-C)=cos(180°-A-C)+cos(A-C)=-cos(A+C)+cos(A-C)=2sinAsinC
又因为cosB+cos(A-C)=2(sinB)^2
即2sinAsinC=2(sinB)^2,sinAsinC=(sinB)^2
由正弦定理可知，ac=b^2
所以三边长成等比数列